シミュレーション・制御・実機
倒立振子を立たせてみる——あなた、機械、そして遅延 2026/6/24
🤖 AIが下書き・人間が編集
台車の上に、棒が一本ヒンジで立っている。台車を左右に動かして、棒を倒さないように保つ——これが倒立振子 、制御とAIの最小の実験場である（解説記事）。下の振子は、あなたのブラウザの中で本物の運動方程式に従って動いている。三つ、試してほしい。
まず、あなたが操作する。 ◀ ▶ ボタン（または ← → キー）で台車を押す。たぶん、すぐ倒れる。人間は不安定な釣り合いを保つのが苦手である。次に、自動操縦に任せる。 「フィードバック則」は、傾きと速度から押す力を毎瞬計算する（記事のLQR 最後に、遅延を足す。 制御の信号をほんの数十ミリ秒遅らせるだけで——完璧だった自動操縦が、倒れる。 これがsim2realギャップ。実機の作動には必ず遅延があり、シミュには無い。
あなたが操作 自動操縦（フィードバック則）
◀ 左 右 ▶
つつく（外乱） リセット 制御の遅延：0 ms
「あなたが操作」モード。← → かボタンで台車を押し、棒を立て続けてください。
立っていた時間：0.0 秒
仕組み——数式で書くとどうなるか（クリックで展開） 式はすべて上のデモの実装そのままである。状態は4つの数 s = [ x , x ˙ , θ , θ ˙ ] \mathbf{s} = [x,\, \dot{x},\, \theta,\, \dot{\theta}] s = [ x , x ˙ , θ , θ ˙ ] θ \theta θ M = 1.0 M=1.0 M = 1.0 m = 0.1 m=0.1 m = 0.1 ℓ = 0.5 \ell=0.5 ℓ = 0.5 g = 9.8 g=9.8 g = 9.8 F F F
運動方程式（標準の台車‑振子）。 力 F F F x ¨ \ddot{x} x ¨ θ ¨ \ddot{\theta} θ ¨ 4 / 3 4/3 4/3 temp = F + m ℓ θ ˙ 2 sin θ M + m \text{temp} = \frac{F + m\ell\dot{\theta}^2\sin\theta}{M + m} temp = M + m F + m ℓ θ ˙ 2 sin θ θ ¨ = g sin θ − cos θ ⋅ temp ℓ ( 4 3 − m cos 2 θ M + m ) \ddot{\theta} = \frac{g\sin\theta - \cos\theta \cdot \text{temp}}{\ell\!\left(\dfrac{4}{3} - \dfrac{m\cos^2\theta}{M+m}\right)} θ ¨ = ℓ ( 3 4 − M + m m cos 2 θ ) g sin θ − cos θ ⋅ temp x ¨ = temp − m ℓ θ ¨ cos θ M + m \ddot{x} = \text{temp} - \frac{m\ell\ddot{\theta}\cos\theta}{M+m} x ¨ = temp − M + m m ℓ θ ¨ cos θ
一歩進める（準陰的オイラー、Δ t = 0.02 \Delta t = 0.02 Δ t = 0.02 まず加速度で速度を更新し、その更新後の速度 で位置を進める（速度を先に使うこの順序＝準陰的オイラーは、素朴なオイラーより振動系で安定する）。 x ˙ ← x ˙ + x ¨ Δ t , x ← x + x ˙ Δ t \dot{x} \leftarrow \dot{x} + \ddot{x}\,\Delta t, \qquad x \leftarrow x + \dot{x}\,\Delta t x ˙ ← x ˙ + x ¨ Δ t , x ← x + x ˙ Δ t θ ˙ ← θ ˙ + θ ¨ Δ t , θ ← θ + θ ˙ Δ t \dot{\theta} \leftarrow \dot{\theta} + \ddot{\theta}\,\Delta t, \qquad \theta \leftarrow \theta + \dot{\theta}\,\Delta t θ ˙ ← θ ˙ + θ ¨ Δ t , θ ← θ + θ ˙ Δ t
自動操縦＝LQR（線形二次レギュレータ）。 4つの状態それぞれに重み K K K F = − K s F = -K\mathbf{s} F = − K s K K K 解説記事 と同じ方法）、非線形シミュで検証した固定値である。力は ± 60 \pm 60 ± 60 F = − ( K 0 x + K 1 x ˙ + K 2 θ + K 3 θ ˙ ) F = -(K_0 x + K_1 \dot{x} + K_2 \theta + K_3 \dot{\theta}) F = − ( K 0 x + K 1 x ˙ + K 2 θ + K 3 θ ˙ ) K = [ − 5.8159 , − 10.6212 , − 76.2852 , − 19.471 ] K = [-5.8159,\ -10.6212,\ -76.2852,\ -19.471] K = [ − 5.8159 , − 10.6212 , − 76.2852 , − 19.471 ]
遅延＝この記事の主役。 制御が計算した力をすぐには効かせず、いったんキューに積んで n n n n n n 振動が増幅して発散する 。これがsim2realギャップ ——実機の作動には必ず遅延があり、シミュには無い——を一行で再現している。棒が ∣ θ ∣ > 0.9 rad |\theta|>0.9\,\text{rad} ∣ θ ∣ > 0.9 rad ∣ x ∣ > 2.4 |x|>2.4 ∣ x ∣ > 2.4 物理は標準的な台車‑振子の運動方程式、自動操縦はその線形化からRiccati方程式で解いたLQRゲイン——記事と同じ方法である。遅延を上げると、完璧な制御則でも発散する。価値は派手な表面でなく、その下の測定と、測れなかったもの（遅延）の中にある。
この記事はAIが下書きし、人間が編集・公開しています。
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