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AIが出したヤコビ予想の反例：7次の写像と、人による検証

2026/7/31 （更新: 2026/11/3）

🤖 AIを使用して執筆

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目次
背景・問い・要点
背景

数学者が長く決着をつけられない主張を、予想と呼ぶ。予想はたいてい「こういう条件を満たすものは、どれも必ずこうなる」という形をしている。これを正しいと確定させるには、例外がひとつも無いことを証明しなければならない。ところが間違いだと確定させるほうは、条件を満たすのに結論が成り立たない例をひとつ持ってくれば足りる。この例を反例と呼ぶ。決着はどちらでもつくのに、必要な仕事は対称ではない。

本稿が扱うのはヤコビ予想である。複素数を係数とする多項式だけで書かれた、nn 次元から nn 次元への写像 FF を考える。FF が点を写した先を、その点の像と呼ぶ。各成分を各変数で偏微分した値を n×nn \times n に並べた行列をヤコビ行列、その行列式をヤコビ行列式と呼ぶ。予想の主張は、ヤコビ行列式が至るところ同じゼロでない定数になるなら、FF は空間全体で（大域的に）可逆だろう、というものだ。可逆とは、相異なる点が必ず相異なる像に写り、逆向きの写像も多項式で書けることを指す。

2026年の5月から7月にかけて、長く開いたままだった予想が、AIの助けで見つかった反例によって崩れる出来事が数件続いた。数学の側の反応も速い。公表された反例は他の数学者がその場で検算し、同じやり方を別の予想へ広げる報告まで出てくる。

ここで「AIが予想を解いた」という言い方は、中身の違う二つの仕事を取り違えさせる。人が思い浮かべるのは論証を組み立てる仕事である。だが反例を持ってくる仕事のほうは、条件を満たすひとつを膨大な候補の中から探し当てることでもありうる。どちらを担ったのかで、AIが数学でどこまで進んだのかの見積もりは変わる。

問い

AIの助けで見つかったヤコビ予想の反例で、AIが担ったのは証明を組み立てる仕事だったのか、候補を探し当てる仕事だったのか。

要点

AIが持ってきたのは証明ではなく反例で、難しさは候補の探索にあったとみられる。ただし反例を見つけた Alpöge がAIにどうプロンプトを与え、AIが何を出力したかは公表されていないので、この見方は推定である1。

反例は複素3次元の7次の多項式写像ひとつで、ヤコビ行列式は定数 −2 なのに、相異なる3点が同じ像に写る2。代入すれば確かめられるが、Taoはこれが総当たりで見つかるとは考えにくいと見積もる2。

確かめるのは人のままで、Speyerは自分のスレッドに出た反例をその場で検算し、Paul Lezeauはこの反例を手作業で証明支援系Leanに形式化した34。

モデル・例示

条件の片方だけなら、満たす写像はすぐ作れる

※ この節の例は、説明のために作った架空のものです。

反例を確かめる計算は小さく、難しいのは二つの条件を一つの写像で同時に満たす候補を探すことにある。ヤコビ予想（ヤコビアン予想とも呼ばれる）の反例には、ヤコビ行列式が至るところ同じゼロでない定数であることと、相異なる点が同じ像に写ることを、一つの多項式写像で同時に満たすことが要る。片方ずつなら、満たす写像は小さな例ですぐ作れる。

2変数の写像 G(x,y)=(x,y+x2)G(x, y) = (x, y + x^2) を考える。偏微分を並べた行列の行列式は 1×1−0×2x=11 \times 1 - 0 \times 2x = 1 で、至るところ同じ定数になる。GG は相異なる点を相異なる像に写し、逆向きの写像 (u,v)↦(u,v−u2)(u, v) \mapsto (u, v - u^2) も多項式で書ける。たとえば G(1,2)=(1,3)G(1, 2) = (1, 3) で、逆向きの写像は (1,3)(1, 3) を (1,2)(1, 2) に戻す。

1変数の写像 h(x)=x2h(x) = x^2 は、h(1)=h(−1)=1h(1) = h(-1) = 1 で、相異なる点 1 と −1 を同じ値に写す。ただし hh の微分は 2x2x で、x=0x = 0 で 0 になり、定数ではない。

見つかった写像を確かめる仕事は、上と同じ計算で済む。行列式を展開して定数になることを見て、重なる点を代入すればよい。一方、「どの写像でも成り立つ」を確かめるには、この計算をいくら繰り返しても足りない。

条件の本数と係数の数を数えても、満たす写像のありかは分からない。行列式が定数という条件だけでも、条件の本数は次数とともに係数の数より速く増える。2変数で各成分を2次までとすると、選べる係数は2成分で12個、行列式が定数になる条件は1次と2次の項がすべて消えることで5本である。各成分を5次までにすると、係数は42個、条件は44本になり、条件のほうが多くなる。それでも (x,y+x5)(x, y + x^5) の行列式は 1 で、44本の条件をすべて満たす。点を重ねる条件は、この上にさらに課される。

この例から言えることは三つある。

  1. 見つかった写像が反例かどうかは、行列式の展開と代入という小さな計算で決まる。
  2. 二つの条件は、片方ずつなら小さな例ですぐ満たせる。難しいのは一つの写像で両方を同時に満たすことである。
  3. 条件の本数が係数の数を上回っても、満たす写像は存在しうる。本数と係数の数を数えても、どの係数の組が満たすかも、両方を満たす候補をどう探すかも分からない。

何が崩れたのか

ヤコビ予想は1939年に立てられた。2026年7月20日（協定世界時。米国時間では19日の夜）、この予想が3次元で偽だと公表された。反例を見つけたのは、AI企業Anthropicに所属する数学者Levent Alpögeで、同社のClaude Fable 5を使っている1。Taoは翌21日のブログで反例を整理している。それは複素3次元空間から複素3次元空間への7次の多項式写像で、ヤコビ行列式は定数 −2 である2。それでも大域的には可逆でない。Taoが挙げる衝突は3点だ。F(0,0,−1/4)=F(1,−3/2,13/2)=F(−1,3/2,13/2)=(−1/4,0,0)F(0, 0, -1/4) = F(1, -3/2, 13/2) = F(-1, 3/2, 13/2) = (-1/4, 0, 0) となり、相異なる3点が同じ1点に写る2。可逆性が破れていることは、この等式に代入すれば確かめられる。Speyerも同じ写像を「generically three to one, not bijective」と説明している。一般の点の上には3つの点が乗り、全単射ではない、という意味である3。

次元ごとに状況は分かれる。1次元では容易に示せ、2次元は未解決のまま残るとTaoは書く2。3次元の反例に、値をそのまま写す座標を付け足せるので、2より大きいすべての次元でも予想は偽になる。崩れたのは予想の大半だが、今回の反例は2次元には及ばない。2次元の主張自体は1884年のKrausに遡り、多項式の次数100までなら計算で正しいことが確かめられている1。

難しかったのは証明ではなく探索

Monash大学のLeeがThe Conversationに書いた解説記事が、この件の性格を伝えている。研究論文ではなく専門家による報道記事で、発見者がモデルの提供元に所属していることもこの記事が伝えている。見つかった反例は「X投稿1つに収まる短さ」だった1。

Leeは、最近の他の多くのAI支援の成果と違って、この反例そのものは際立って単純だと述べる。困難は入り組んだ構成にも長い証明にもなく、正しい性質を持つ1つを取り出すために、可能な多項式写像からなる巨大な探索空間をどう歩くかにあった「ようだ」と書く1。これはLeeの推定である。同じ記事は、7月22日の執筆時点で Alpöge がどうプロンプトを与えたかも、出力がどんな形だったかも公表されていないと明記しており、過程が分からない以上、難しさの所在は推測にとどまる1。

もっとも、難しさが探索にあること自体は、反例が出る前から予想の性格として認識されていた。Leeは、ヤコビ予想が興味深い理由の一つは「理論上は反例を見つけるのが容易なはずだ」という点にあるとし、点を重ねる写像の例を作るのも、ヤコビ行列式が定数になる多項式写像の例を作るのも容易だが、両方を同時に満たすものを見つけるのが難所だと書く1。

反例を見た後なら、初等的な計算で同じ反例にたどり着く道筋も示されている。この予想を1985年から研究してきたvan den Essenは、毎回いちばん単純でありそうな選択を重ねていけば、ごく初等的な計算で、線形な座標変換を除いて同じ反例に行き着けることを示した5。ただし本人は、反例を受け取った時点ではAlpögeがどう見つけたのか全く分からなかったと書き、この道筋もAlpögeの例を見たうえで組んだものだと断っている5。

反例は一つ挙げれば済む

反例を出す行為は、存在命題の主張だ。「そのような対象が少なくとも1つある」と言えばよく、示すべきはその1つが条件を満たすことだけである。今回は多項式の偏微分と代入で済む。これに対して普遍命題は「すべての対象について成り立つ」と言う。ヤコビ予想そのものが普遍命題で、1例を見せても終わらない。

同じ予想の歴史にも、この非対称が現れている。Leeによれば、ヤコビ予想には Beniamino Segre や Wolfgang Gröbner ら20世紀の著名な数学者による証明の主張が繰り返し出されたが、そのいずれにも後から微妙な誤りが見つかって議論は無効になった1。一方で今回の反例は、短いがゆえに他の数学者がすぐ検証できた1。

この非対称は機械に向いている。ただし、向いているのは検証の側である。候補を厳密な検査にかけ、通らなければ捨てる。検査が厳密で安いなら、生成側がどれだけ外しても最終的な結論の正しさは揺るがない。逆に、検査が安いことは、当たりを引きやすいことを何も意味しない。Taoはこの反例について次のように見積もる。7次の写像ならヤコビ行列式は本来18次までの多項式になりうるので、非定数項がすべて消えるのは1329本の方程式が同時に成り立つことに等しい。これは3次元の7次多項式写像がもつ360の自由度よりはるかに多い。ゆえに、このような多項式が総当たりで見つかるとは考えにくい2。安く厳密な検証は、生成した候補から本物の反例を選び出すための必要条件であって、当たりの候補が生まれる十分条件ではない。

反例が短い期間に続いた

Buzzardは2026年7月20日のブログで、AIが短期間に長年の予想を次々と反例で覆した経過を並べている4。ここに並ぶ出来事の多くは、自動形式化ツールを持つ Logos Research が資金提供したワークショップの周辺で起きている4。同じ週にBuzzard自身が参加者25人分の Claude Max 購読を買い、それを聞きつけたOpenAIが参加者全員に ChatGPT Pro の無償アクセスを提供している4。

登場するのはChatGPTの「Sol」とClaudeの「Fable」だ。Leanは証明を機械が一段ずつ検査できる形式で書くための証明支援系で、形式化とは自然言語の証明をその形式に書き直す作業を指す。Erdősの単位距離予想については、ChatGPTが反例を構成する議論を生成し、数日のうちにAIがLeanで形式化した。ただしそれは「100ページ超の数論の定理が反例を導く」という含意の形式化で、前提を置かない完全な形式化は約1か月後に別のモデルが3週間・120万行かけて達成している。Grothendieckの60年来の問い（有限自由群スキームがその位数で消えるか）では、7月7日の昼食で話題に上り、11日には反例が見つかったという報告が届いた。その間は4日である4。

ヤコビ予想の反例はワールドカップ決勝の最中に見つかったらしい、とBuzzardは書く4。Buzzardによれば、Mathewは代数幾何でさらに反例を探す案をAlpögeと話しており、ヤコビ予想をAlpögeに勧めたのもMathewだった。そのAlpögeがXで反例を報告した4。Buzzardは「machines seemed to be getting very good at finding counterexamples」と書く。機械は反例を見つけるのが非常にうまくなってきたようだ、という意味である4。ただし並んでいるのは短い期間に集中した数件で、母数は小さい。Erdősの完全形式化を達成した Boris Alexeev は OpenAI の従業員であり、Buzzard も mathlib のメンテナとしての利益相反を記事内で自己申告している4。

証明の側では同じ話にならない

反例（存在命題）と普遍命題の証明を根本的に別の仕事として切り分けるのは本稿の整理であって、Buzzardの7月20日の記事の本文にその主張はない。本文が書くのは区別ではなく観察で、機械は反例を見つけるのがうまくなってきた、いまのツールでは反例が「低い枝の果実」かもしれない、という二つである4。後者はAkhil Mathewがそう深く理解していたようだ、という形で書かれている。ただしBuzzard自身は、同記事のコメント欄で「ヤコビ予想の証明とその反証には本当の違いがある。たとえば予想の証明がツイートに収まったとは考えにくい。予想は『すべての』命題で、その反証は『存在する』命題だ」と述べており、この切り分け自体は著者の見解と一致する4。Buzzardは記事本文で「The next step in that work is for humans to understand exactly what is going on with the example」とも書く4。次の段階は、この反例で何が起きているのかを人間が正確に理解することだ、という意味だ。

一方でGowersは2026年8月12日のブログで、例を見つけることは、実際には存在量化子で始まる命題を証明することと同じではないと論じている6。Gowersは、LLM（large language model の略で、大規模言語モデルを指す）は反例だけでなく難しい命題の証明も見つけられ、普遍命題の証明もかなりうまいとしたうえで、定理として証明した最も強い命題は、反例として示した最も強い命題の水準におおむね届いていないと書く6。そのうえで、いまのモデルが例を見つけるのに特に強いとしても、それは存在命題への親和性のためではなく、ある種の例探しに合う方法が、広い知識と、人なら見込みが低いと判断する探索木の多くの道筋を試せるという強みに合うからだろう、とGowersは書く6。

Buzzardは非形式なAI生成数学を読まない。Grothendieckの問いへの反例が12頁のpdfで届いたとき、彼は読まずにLeanでの形式化を求め、4時間後に届いた1,076行のLeanファイルを5分未満で検証している4。ヤコビ予想の反例も、Buzzardが7月20日の記事を書いた時点で、Paul Lezeauが手作業でLeanに形式化していた4。予想の主張はDeepMindがすでにLeanで書いており、Buzzardは、その記述が予想を忠実に捉えていると人が合意していれば、AIが書いたものを含むLeanコードが証明か反証かを確かめるのは「triviality」だと書く4。この要求は証明にも反例にも同じに掛かり、反例なら必ず安く満たせるわけでもない。Erdősの件も反例だが、反例を導く数論の定理まで含めた完全な形式化には120万行と3週間が要り、BuzzardはGrothendieckの反例は「千行であって百万行ではない」とはるかに易しかったと書く4。自分がAIに書かせた解説pdfの誤りを、別のAIツールが反例つきで指摘したという経験もBuzzardは記している4。

証明の側で何が足りないかを測ろうとした研究もある。Dekoninckらの Open Proof Corpus は、最先端のLLMが生成した5,000件を超える証明を人手で評価したデータを扱う。この研究はICLR 2026に採録されている7。調べているのは3点だ。自然言語による証明生成と形式証明生成の性能差、最終解答の正答率と証明全体としての妥当性の食い違い、そして best-of-n 選択が証明の質に与える影響である7。best-of-n 選択とは、nn 個の候補を出して良いものを選ぶ手法を指す。

著者らによれば、集められた証明のうち正しいものは概ね43%で、残りは人手評価で誤りと判定されたものだ7。最終解答の正しさと証明の妥当性の落差はモデルによって大きく違う。証明の正しさまで求めると、Gemini-2.5-Pro は最終解答の正答率を8ポイント落とすだけだが、o3 は約30ポイント落ちた（2025年半ばに測られた世代での話である）。MathArenaの問題を集めた部分集合では、o3の解答のうち証明まで正しいものは59.5%にとどまる7。最終解答の正しさは証明生成の能力を測る信頼できる指標にならない、というのが著者らの結論である。ただしこれは競技数学の問題での測定であって、今回のような未解決予想に対する証明生成の失敗率ではない7。

それでも人が確かめている

数学者たちは結果をそのまま受け取っていない。Speyerのブログは、Fableが反例を見つけたというAlpögeのツイートを紹介し、そこから議論を続けている3。計算に頼らない概念的な証明を目標として掲げたのは Will Sawin で、Jake Levinson が座標に依存しない幾何学的な議論を寄せた3。公開から1週間強のあいだに、この反例を土台にした明示的な反例がHessian予想・一般化消滅予想・像予想へと次々に提出されている3。その場で検算も行われており、Speyerが一般化消滅予想への反例は合わないと指摘したところ、食い違いはSpeyer自身の写し間違いだと数時間で判明した3。Will Sawinは、Andy Jiangがプロンプトを与えたChatGPTが「almost an elegant geometric construction」と呼べる写像の構成を出したとし、その写像を対称積空間で説明している3。

Taoの記事も同じ方向を向く。彼は自分の投稿を「digestion exercise」と呼び、代数幾何をあまり使わずに、「miracles」を最小化する形で書いたと述べる2。「miracles」は、理由が見えないまま係数が一斉に打ち消し合うような現象を指す。同時に、この問題の議論と記事中のいくつかの計算の確認にAIチャットボットを使ったとも明記している2。

自律の度合いを正面から測ろうとした報告もある。Balkoらの Bolzano（査読前のプレプリント）は、数学と理論計算機科学の8つの問題で新しい結果を出したとする8。著者らの評価では、8つのうち6つが出版に値する水準に達し、8つのうち5つは実質的に自律的に生成された8。どの作業で効いたかも論文自身が書いている。著者らは、Bolzanoは数学的に意味のある中間的な一手の生成器として最も有用で、とりわけ反例と障害物を見つけるのが得意だったとし、総括でも「LLMは証明候補を生成し、反例を構成し、分野をまたいで接続することに長ける」と述べる8。8つのうち1つは実際に予想の反証で、KAMAKという研究集会の2020年の問題集にある、関数の原像に関する分割の予想に反例を与えている8。もっともその反証は、著者らの分類では自律的に得られた一方で新規性は軽微の側に置かれており、反例が自律的に出ることと、それが重要な結果であることは別である8。論文の表では、自律的に得られた5件のうち出版に値する水準とされたのは3件で、反例や障害物にあたる2件（関数原像の分割・タイル張り）はどちらも新規性が軽微の側にある8。

そしてこの論文自身の総括は、人が確かめる側に寄っている。著者らは「2026年初頭の時点で、問題選択・高水準の戦略・そして検証について、人間の指導は依然として意味を持つ」と結び、限界として「人間とAIの寄与をきれいに切り分けるのは難しく、そもそも取り組む問題を選ぶこと自体が自明でない人間の入力である」と述べる8。実際、8つの問題のうち複数で、人間が証明の方針や基礎ケースを与えている8。

出典8件

  1. Lee「‘hello there the jacobian conjecture is false thanx’: why a tiny social media post has mathematicians rethinking AI」The Conversation, 2026-07-22. https://theconversation.com/hello-there-the-jacobian-conjecture-is-false-thanx-why-a-tiny-social-media-post-has-mathematicians-rethinking-ai-283883 — 報道記事。 ↩ ↩2 ↩3 ↩4 ↩5 ↩6 ↩7 ↩8 ↩9

  2. Terence Tao「A digestion of the Jacobian conjecture counterexample」ブログ, 2026-07-21. https://terrytao.wordpress.com/2026/07/21/a-digestion-of-the-jacobian-conjecture-counterexample/ — 反例の写像と3点の衝突を整理し、方程式と自由度の数から総当たりでは見つかりにくいと見積もる。 ↩ ↩2 ↩3 ↩4 ↩5 ↩6 ↩7 ↩8

  3. David Speyer「The new counterexample to the Jacobian conjecture」Secret Blogging Seminar, 2026-07-20. https://sbseminar.wordpress.com/2026/07/20/the-new-counterexample-to-the-jacobian-conjecture/ — 反例の幾何的な説明と、コメント欄での検算と後続の反例の記録。 ↩ ↩2 ↩3 ↩4 ↩5 ↩6 ↩7

  4. Kevin Buzzard「Human mathematicians are being outcounterexampled」Xena Project, 2026-07-20. https://xenaproject.wordpress.com/2026/07/20/human-mathematicians-are-being-outcounterexampled/ — 反例の経過、Leanでの検証、利害の開示。存在と普遍の区別は本人のコメント（7月25日）にある。 ↩ ↩2 ↩3 ↩4 ↩5 ↩6 ↩7 ↩8 ↩9 ↩10 ↩11 ↩12 ↩13 ↩14 ↩15 ↩16 ↩17

  5. Arno van den Essen「An elementary way to find a counterexample to the Jacobian Conjecture」arXiv（査読前）, 2026. https://arxiv.org/pdf/2609.17795v1 — 例を見たうえで、単純な選択を重ねれば初等的に同じ反例に至れると示す。 ↩ ↩2

  6. Timothy Gowers「What sort of maths are LLMs good at?」Gowers’s Weblog, 2026-08-12. https://gowers.wordpress.com/2026/08/12/what-sort-of-maths-are-llms-good-at/ — 例を見つけることは存在命題の証明と同じではなく、LLMの強みは知識の広さと探索の幅だと論じる。 ↩ ↩2 ↩3

  7. Dekoninck ほか「The Open Proof Corpus: A Large-Scale Study of LLM-Generated Mathematical Proofs」ICLR 2026. https://arxiv.org/abs/2506.21621 https://openreview.net/forum?id=a2XmC7rHIU — 人手評価した5,000件超の証明のうち、正しいものは約43%だったとする。 ↩ ↩2 ↩3 ↩4 ↩5

  8. Balko ほか「Bolzano: Case Studies in LLM-Assisted Mathematical Research」arXiv（査読前）, 2026. https://arxiv.org/abs/2604.16989 — 8問題のうち5つが実質自律で得られ、反例と障害物を見つけるのが得意だったと報告する。 ↩ ↩2 ↩3 ↩4 ↩5 ↩6 ↩7 ↩8

この記事はAIを使用して執筆されました。内容には誤りが含まれる可能性があります。事実や数字の出典は脚注から確かめられます。